Непрерывные фрактальные кривые

   Одним из важных классов самоподобных и самоаффинных множеств являются инвариантные множества, представимые в виде непрерывных кривых. Впервые фрактальные параметризированные кривые встречаются в статье Дж.Хатчинсона [HJ,3.5].
   Хатчинсон рассматривал системы сжатий {S₁,..,S_n} обладающие свойством:

• S_i(x_n)=S_i+1(x₁), для всех i=1,..,n-1,

где x₁ и x_n обозначают неподвижные точки отображений S₁ и S_n соответственно. Для любой системы сжатий обладающей таким свойством существует непрерывное отображение f с отрезка [0,1] на инвариантное множество F=IFS(X;S₁,..,S_n) , такое что f( [0,1] ) = F. Таким образом F является непрерывной параметризованной кривой.
   Наиболее распространенные примеры - кривая Коха, кривая Леви, кривая Пеано, треугольник Серпинского. Но под определение данное Хатчинсоном попадают не все непрерывные кривые (например драконова ломанная).

   Можно показать,что более широкий класс непрерывных кривых порождается системами сжатий {S₁,..,S_n} удовлетворяющими свойству:

• Существует набор точек (x₀,x₁,..,x_n), такой что {S_i(x₀),S_i(x_n)}= {x_i-1,x_i}, для всех i=1,..,n

Более того, этому свойству удовлетворяет любое инвариантное множество системы сжатий являющееся жордановой кривой (т.е. непрерывной кривой без самопересечений), например кривая Коха.
   Приведенный ниже Java апплет рисует для каждого из вышеупомянутых примеров непрерывные ломанные последовательно к нему приближающиеся.

---

Другие Java апплеты

• Редактор самоподобных множеств - мой Java апплет позволит Вам строить Ваши собственные самоподобные фракталы и кривые. Интерфейс у него попроще, чем у Fractal Microscope, но класс создаваемых множеств значительно шире.
• Огромный апплет (19Kb) на страничке Fractal Microscope с подробным описанием на английском предназначен для редактирования самоподобных кривых. Это апплет с богатыми интерфейсными возможностями, можно включать привязку к сетке. Но к сожалению не поддерживаются отображения с отражением относительно прямой, нельзя построить треугольник Серпинского и драконову ломаную.
• На страничке Java Arts можно найти много разных Java апплетов строящих L-System и некоторые другие фракталы.
• Апплет Quaternion Fractal строит 3d аналог множества Мандельброта, используя кватернионы вместо комплексных чисел.