Плавная раскраска множества Мандельброта

Для каждого комплексного числа c множество Жюлиа J_c задаётся итеративным процессом z₀(z)=z, z_n+1(z)=f(z_n(z), c):

Стандартный алгоритм строит приближения множеств Мандельброта и Жюлиа:

2. Функция непрерывная на внешности множеств M и J_c.
Сформулируем задачу: Построить непрерывную функцию w(z), определённую всюду на внешности множества Мандельброта (Жюлиа) и ведущую себя на бесконечности, как 1/z. Кроме того, желательно, чтобы вычисление w(z) было связанно с вычислением последовательности z_n.

Пусть f(z,c) - полином степени m по переменной z. При больших значениях |z_n| отношение w(z_n)/w(z_n+1) ведёт себя как f(z_n,c)/z_n=z_n^m-1+O(|z_n^m-2|). Процесс построения w(z) можно выбрать таким образом, что w(z_n)/w(z_n+1)=z_n^m-1, при |z_n|<R, и w(z_n)=1/z_n, при |z_n|>=R.

В частности, для процесса f(z,c)=z^2+c получаем, что последовательность w(z_n)/w(z_n+1) ведёт себя, как (z_n^2+c)/z_n=z_n+O(1/|z_n|). Этому условию удовлетворяет, например, функция заданная итеративным процессом:

Используя стандартные средства ТФКП для иследования бесконечных произведений нетрудно показать, что определённая таким образом комплексная функция w(z) сходится, при R стремящемся к бесконечности, к некоторой функции, аналитической (а следовательно и непрерывной) всюду на внешности множества Мандельброта (Жулиа). Что собственно и требовалось.

3. Вычисление плавной раскраски. Если rgb(z)=(r(z),g(z),b(z)) - некоторое непрерывное отображение комплексной плоскости в цветовой куб (r,g,b), то rgb(w(z)) - искомая непрерывная раскраска. Например, в качестве r(z),g(z),b(z) можно взять функции: