Прежде всего фракталы - область удивительного математического искусства,
позволяющего с помощью простейших формул и алгоритмов получать картины необычайной красоты
и сложности! В контурах построенных изображений нередко угадываются листья,
деревья и цветы.
Одни из наиболее мощных приложений фракталов лежат в компьютерной
графике. Во первых это фрактальное сжатие изображений, и во вторых построение
ландшафтов, деревьев, растений и генерирование фрактальных текстур.
Современная физика и механика только-только начинают изучать поведение
фрактальных объектов. И конечно же фракталы применяются непосредственно в самой
математике.
Достоинства алгоритмов фрактального сжатия изображений - очень
маленький размер упакованного файла и малое время восстановления картинки.
Фрактально упакованные картинки можно масштабировать без появления пикселизации.
Но процесс сжатия занимает продолжительное время и иногда длится часами.
Алгоритм фрактальной упаковки с потерей качества позволяет задать степень
сжатия, аналогично формату
jpeg. В основе алгоритма лежит поиск больших
кусков изображения подобных некоторым маленьким кусочкам. И в выходной файл
записывается только какой кусочек какому подобен.
Так компанией Iterated разработан формат изображений "Sting",
сочетающий в себе фрактальное и «волновое» (как в формате jpeg) сжатие
без потерь. Новый формат позволяет создавать изображения с возможностью
последующего высококачественного масштабирования, причем объем
графических файлов составляет 15-20% от объема несжатых изображений.
Склонность фракталов походить на горы, цветы и деревья эксплуатируется
некоторыми графическими редакторами, например фрактальные облака из 3D studio
MAX, фрактальные горы в World Builder. Фрактальные деревья, горы и целые
пейзажи задаются простыми формулами, легко программируются и не распадаются
на отдельные треугольники и кубики при приближении.
Нельзя обойти стороной и применения фракталов в самой математике. В теории
множеств множество Кантора доказывает существование совершенных нигде не
плотных множеств, в теории меры самоаффинная функция "Канторова лестница"
является хорошим примером функции распределения сингулярной меры. В
геометрической теории функций А.А. Шалагинов использовал естественную
параметризацию кривой Коха, как пример свободно-квазисимметрического, но не
билипшицева вложения прямой в полоскость, чем разрешил проблему о различии
между этими классами функций.
Фракталы давно применяют в механике, акустике, физике.
Можно сказать, что там их используют благодаря
уникальному свойству повторять очертания многих объектов природы. Фракталы
позволяют приближать деревья, горные поверхности, молнии, трещины с более высокой
точностью, чем приближения наборами отрезков или многоугольников (при том же
объеме хранимых данных). Фрактальные модели, как и природные объекты, обладают
"шероховатостью", и свойство это сохраняется при сколь угодно
больших увеличениях модели. Наличее на фракталах равномерной меры, позволяет
применять интегрирование, теорию потенциала, использовать их в уже исследованных уравнениях.
Более детально это раскрывается в статье "Фракталы в механике"
13:
«Так, например, появилась теория фрактальных трещин
14,
модель трения для фрактальных поверхностей
15 фрактальная механика
древесно-полимерных композитов
16 и пр. Применение фракталов к
материаловедению в какой-то степени освещено в монографии
17.
Разработана математическая теория перколяционных кластеров
18.
На основе этой теории создаются новые критерии прочности материалов, в том
числе и композиционных
19. Пожалуй, самое широкое распространение фрактальный
подход нашёл в теории динамических систем. При детерминированном подходе,
как правило, входные данные (в числе которых могут входить и начальные
условия) полностью определяют решение. При этом для нелинейных систем
существуют такие параметры, при которых возможны "пороговые" явления решения:
ветвление, скачки, катастрофы и т.п. До достижения критических параметров
траектории динамической системы могут притягиваться некоторым аттрактором
(предельной точкой траектории). Но по достижении критического параметра
картина резко меняется, и динамическая система начинает вести себя по-другому.
Её траектории могут стремиться к некоторому циклу значений, которые будут
повторяться вновь и вновь ("странные аттракторы"). Но, если параметры системы
будут увеличиваться, эта последовательность начинает вести себя беспорядочно
("срывается к хаосу"). Она, хоть и определена динамическим законом и
детерминированным начальным значением, но, тем не менее, непредсказуема.
Так, например, ведут себя траектории движения малой планеты вокруг двух
светил с равной массой (задача трёх тел в небесной механике).
Так ведёт себя и странный аттрактор, открытый американским метеорологом
Э.Лоренцем
20. Им была исследована система трёх дифференциальных уравнений,
описывающих конвекцию газа или жидкости, движущихся внутри тора и
подогреваемых снизу этого тора.»
Литература:
-
Mandelbrot B.B. Fractals, Form, Chance, and Dimension, San Francisco: Freeman. 1977.
-
Mandelbrot B.B. The Fractal Geometry of Nature, San Francisco: Freeman. 1982.
-
Falconer K. Fractal geometry: mathematical foundations and applications, Chichester etc.: John Wiley & Sons xxii, (1990), 288 p.
-
J. Hutchinson Fractals and Self Similarity, Indiana Univ. Math. Journal, Vol.30, No.5. (1981), pp.713-747.
-
Barnsley M.F. Fractals everywhere. Boston: Acad. Press, 1988.
-
Barnsley M.F. Fractal Image Compression Notices. 1996. V.43. No.6.
-
Данилов Ю.А. Красота фракталов, Московский Международный Синергетический Форум.
-
Забарянский С.Ф. Фрактальное сжатие изображений. - Компьютеры + программы. 1997. No.6(39).
-
Мандельброт Б. Самоаффинные фрактальные множества,"Фракталы в физике" -М.:Мир, (1988),672 с.
-
Пайтген Х.-О., Рихтер П.Х. Красота фракталов. М.: Мир, 1993. (1986 - оригинал) 176 с.
-
Федер Е. Фракталы. М.: Мир, 1991. 262 с.
-
Шалагинов А.А. Об отображениях самоподобных кривых, Сиб.мат.ж., 34, No.6, 1993, c. 210-215.
-
Победря Б.Е.(HomePage)
О фракталах в механике,
url: http://composite.msu.ru/win/s_work/1/fr.htm
-
Бородич Ф.М. Энергия разрушения фрактальной трещины, распространяющейся в бетоне или горной породе,
Докл. АН. 1992. Т.325. No.3. С.1138-1141.
-
Бородич Ф.М., Онищенко Д.А. Фрактальная шероховатость в задачах контакта и трения (простейшие модели),
Трение и износ. 1993. Т. 14. No.3. С. 452-459.
-
Кулак М.И. Структурные аспекты фрактальной механики древесно-полимерных композитов,
Изв. АН БССР. Сер. физ.-техн. наук. 1991. No.2. С.18-22.
-
Иванова B.C., Баланкин А.С., Бунин И.Ж., Оксогоев А.А.
Синергетика и фракталы в материаловедении., М.: Наука, 1994. 384 с.
-
Меньшиков М.В., Молчанов С.А., Сидоренко А.Ф. Теория перколяции и некоторые приложения,
Итоги науки и техники. Сер. Теория вероятностей. Математическая статистика. Теоретическая кибернетика. М.: ВИНИТИ, 1986. Т.24. С.53-110.
-
Наймарк О.Б., Давыдова М.М.
Топологический (фрактальный анализ кинетики накопления дефектов при оценке прочности углеродных композитов,
Механика композитных материалов. 1994. Т.ЗО. N 1. С. 19-30.
-
Лоренц Э. Детерминированное непериодическое течение В "Странные аттракторы",
(перевод с англ. под ред. Синая Я.Г. и Шильникова Л.И.). - М.: Мир, 1981. С.88-116.